Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0且bc≠0）．
（Ⅰ）若|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，試求f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的圖象在x軸上截得的弦的長度為l，且0＜l≤2，試比較b、c的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得（a+b+c）²=（a-b+c）²，得4b（a+c）=0，|c|=1，結(jié)合條件即可得到a，b，c，進而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）g（1）=0，可得2a+b=0，設方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，運用韋達定理，以及弦長公式，求得$0≤\frac{c}{a}＜1$．進而得到b，c的大小．

解答 解：（Ⅰ）由已知|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，
有|a+b+c|=|a-b+c|⇒（a+b+c）²=（a-b+c）²，得4b（a+c）=0．
∵bc≠0，∴b≠0，∴a+c=0，由a＞0知，c＜0，
∵|c|=1，∴c=-1．      
則a=1，b=±1．
∴f（x）=x²+x-1或f（x）=x²-x-1．         
（Ⅱ）g（x）=2ax+b，由g（1）=0且a＞0，
知2a+b=0，b＜0且a＞0，
設方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，
則${x_1}+{x_2}=-\frac{a}=2$，${x_1}{x_2}=\frac{c}{a}$，
∴$|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{4-4•\frac{c}{a}}$，
由已知0＜|x₁-x₂|≤2，∴$0≤\frac{c}{a}＜1$．
又∵a＞0，bc≠0，
∴c＞0，又b＜0，
∴c＞0＞b．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查兩數(shù)大小的比較，注意運用韋達定理和不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．