【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AC=AD=3,PA=BC=4.
(1)求異面直線PB與CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1).(2)
.
【解析】
(1)先根據(jù)題意建立空間直角坐標系,求得向量和向量
的坐標,再利用線線角的向量方法求解.
(2)先求得平面PBC的一個法向量,易知平面PAD的一個法向量,再利用面面角的向量方法求解.
(1) 設(shè)BC的中點為E,由AB=AC,可知AE⊥BC,
故分別以AE,AD,AP所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系
則A(0,0,0),P(0,0,4),D(0,3,0),B(,-2,0),C(
,2,0).
設(shè)θ為兩直線所成的角,
由=(
,-2,-4),
=(-
,1,0),
得cosθ==
.
(2) 設(shè)=(x,y,z)為平面PBC的法向量,
=(
,-2,-4),
=(
,2,-4),
·
=0,
·
=0,
即
取平面PBC的一個法向量=(4,0,
),
平面PAD的一個法向量為=(1,0,0).
設(shè)α為兩個平面所成的銳二面角的平面角,則cosα==
.
所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為.
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【題目】設(shè)函數(shù),
,其中
恒不為0.
(1)設(shè),求函數(shù)
在x=1處的切線方程;
(2)若是函數(shù)
與
的公共極值點,求證:
存在且唯一;
(3)設(shè),是否存在實數(shù)a,b,使得
在(0,
)上恒成立?若存在,請求出實數(shù)a,b滿足的條件;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知在算法中“”和“
”分別表示取商和取余數(shù).為了驗證三位數(shù)卡普雷卡爾“數(shù)字黑洞”(即輸入一個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),經(jīng)過如圖的有限次的重排求差計算,結(jié)果都為495).小明輸入
,則輸出的
( )
A.3B.4C.5D.6
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【題目】已知函數(shù),其中
為常數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)(
為自然對數(shù)的底數(shù)),
時,若方程
有兩個不等實數(shù)根,求實數(shù)
的取值范圍.
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【題目】已知數(shù)列{}的首項a1=2,前n項和為
,且數(shù)列{
}是以
為公差的等差數(shù)列·
(1)求數(shù)列{}的通項公式;
(2)設(shè),
,數(shù)列{
}的前n項和為
,
①求證:數(shù)列{}為等比數(shù)列,
②若存在整數(shù)m,n(m>n>1),使得,其中
為常數(shù),且
-2,求
的所有可能值.
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【題目】已知函數(shù),
,
.
(1)當(dāng)時,若對任意
均有
成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(2)設(shè)直線與曲線
和曲線
相切,切點分別為
,
,其中
.
①求證:;
②當(dāng)時,關(guān)于
的不等式
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)
(1)若,求
的單調(diào)區(qū)間和極值點;
(2)若在
單調(diào)遞增,求實數(shù)
的取值范圍.
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