Question

設(shè)S_n是公差為d（d≠0）的無窮等差數(shù)列{a_n}的前n項和，則下列命題錯誤的是（　�。�

• A、若d＜0，則數(shù)列{S_n}有最大項
• B、若數(shù)列{S_n}有最大項，則d＜0
• C、若對任意n∈N^*，均有S_n＞0，則數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列
• D、若數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列，則對任意n∈N^*，均有S_n＞0

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由等差數(shù)列的求和公式可得S_n=na₁+

n(n+1)

2

d=

d

2

n²+（a₁+

d

2

）n，可看作關(guān)于n的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)逐個選項驗證可得．

解答：解：由等差數(shù)列的求和公式可得S_n=na₁+

n(n+1)

2

d=

d

2

n²+（a₁+

d

2

）n，
選項A，若d＜0，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列{S_n}有最大項，故正確；
選項B，若數(shù)列{S_n}有最大項，則對應(yīng)拋物線開口向下，則有d＜0，故正確；
選項C，若對任意n∈N^*，均有S_n＞0，對應(yīng)拋物線開口向上，d＞0，
可得數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列，故正確；
選項D，若數(shù)列{S_n}是遞增數(shù)列，則對應(yīng)拋物線開口向上，
但不一定有任意n∈N^*，均有S_n＞0，故錯誤．
故選D

點評：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題．