【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|. (I)求不等式f(x)<|2x+1|﹣1的解集M;
(Ⅱ)設(shè)a,b∈M,證明:f(ab)>f(a)﹣f(﹣b).

【答案】解:(I)不等式f(x)<|2x+1|﹣1,即|x+1|<|2x+1|﹣1, ∴ ①,或 ②,或 ③.
解①求得x<﹣1;解②求得x∈;解③求得x>1.
故要求的不等式的解集M={x|x<﹣1或 x>1}.
(Ⅱ)證明:設(shè)a,b∈M,∴|a+1|>0,|b|﹣1>0,
則 f(ab)=|ab+1|,f(a)﹣f(﹣b)=|a+1|﹣|﹣b+1|.
∴f(ab)﹣[f(a)﹣f(﹣b)]=f(ab)+f(﹣b)﹣f(a)=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|
=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b(a+1)|﹣|a+1|
=|b||a+1|﹣|a+1|=|a+1|(|b|﹣1|)>0,
故f(ab)>f(a)﹣f(﹣b)成立
【解析】(I)把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組,求出每個不等式組的解集,再取并集,即得所求.(Ⅱ)由題意可得|a+1|>0,|b|﹣1>0,化簡f(ab)﹣[f(a)﹣f(﹣b)]為|a+1|(|b|﹣1|)>0,從而證得不等式成立.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關(guān)知識,掌握含絕對值不等式的解法:定義法、平方法、同解變形法,其同解定理有;規(guī)律:關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四面體中,平面平面,,分別為的中點.

(1)證明:平面平面;

(2)求三棱錐的體積;

(3)求二面角的大。

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【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面為菱形,的中點為,且平面

(1)證明:;

(2)若,,試畫出二面角的平面角,并求它的余弦值.

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【題目】已知長方形ABCD如圖1中,AD= ,AB=2,E為AB中點,將△ADE沿DE折起到△PDE,所得四棱錐P﹣BCDE如圖2所示.

(Ⅰ)若點M為PC中點,求證:BM∥平面PDE;
(Ⅱ)當(dāng)平面PDE⊥平面BCDE時,求三棱錐E﹣PCD的體積.

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【題目】已知兩直線

1)求直線的交點的坐標;

2)求過交點,且在兩坐標軸截距相等的直線方程;

3)若直線不能構(gòu)成三角形,求實數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),.

(Ⅰ)若,解不等式;

(Ⅱ)設(shè)是函數(shù)的四個不同的零點,問是否存在實數(shù),使得其中三個零點成等差數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1= ,∠BAD=120°.
(Ⅰ)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值;
(Ⅱ)求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐中,,,分別是的中點.

(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)求證:平面平面;

(Ⅲ)在圖中作出點在底面的正投影,并說明理由.

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