Question

三棱錐A-BCD，其中△BCD為直角三角形，∠BDC=90°，AB=AC=AD=5，BD=4，CD=4

3

．
（1）求證：面BCD⊥面ABC
（2）求二面角C-AD-B的平面角．

Answer 1

分析：（1）取BC中點(diǎn)O，連接DO，有已知條件可得△AOB≌△AOC≌△AOD，進(jìn)而得到∠AOB=∠AOC=∠AOD=90°；從而有AO⊥面BCD可得面BCD⊥面ABC；
（2）過O作OF與BC垂直，交CD于F點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出個對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出面ACD的法向量以及面ABD的法向量的坐標(biāo)，最后代入向量夾角的計算公式即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：取BC中點(diǎn)O，連接DO，由已知△BCD為直角三角形，可得OC=OD=OB，
又知AB=AC=AD，則△AOB≌△AOC≌△AOD，（2分）
可知∠AOB=∠AOC=∠AOD=90°，
則AO⊥面BCD，AO?面ABC
得面BCD⊥面ABC（6分）
（2）解：過O作OF與BC垂直，交CD于F點(diǎn)，
建系[O；

OF，

，

OB

，

OA

]
則 A（0，0，4），B（0，4，0），
C （0，-4，0），D（2

3

，2，0）（8分）
設(shè)面ACD的法向量為

n1

=(x，y，z)，由

n1

•

AC

=0，

n1

•

AD

=0，可知

n1

=(-3

3

，3，-4)
設(shè)面ABD的法向量為

n2

=(x，y，z)，由

n2

•

AB

=0，

n2

•

AD

=0，可知

n1

=(

3

，3，4)（12分）
∴cos＜n1，n2＞=-

4 91

91

，
則＜n1，n2＞=π-arccos

4 91

91

（14分）

點(diǎn)評：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角以及線面垂直的證明．在用空間向量求平面間的夾角問題時，一定要注意平面的法向量不能求錯．