Question

【題目】某市教學(xué)研究室為了對(duì)今后所出試題的難度有更好的把握，提高命題質(zhì)量，對(duì)該市高三理科數(shù)學(xué)試卷的得分情況進(jìn)行了調(diào)研．從全市參加考試的理科考生中隨機(jī)抽取了100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分），將數(shù)據(jù)分成9組：，，，，，，，，，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．用統(tǒng)計(jì)的方法得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率估計(jì)值．

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求抽取的100名理科考生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分及眾數(shù)；

（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，從該市所有高三理科考生的數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽取3個(gè)，記理科數(shù)學(xué)成績(jī)位于區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）從該市高三理科數(shù)學(xué)考試成績(jī)中任意抽取一份，記其成績(jī)?yōu)?/span>，依據(jù)以下不等式評(píng)判（表示對(duì)應(yīng)事件的概率）：

①，②，

③，其中．

評(píng)判規(guī)則：若至少滿足以上兩個(gè)不等式，則給予這套試卷好評(píng)，否則差評(píng)．試問：這套試卷得到好評(píng)還是差評(píng)？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平均分，眾數(shù)；（Ⅱ）分布列詳見解析，；（Ⅲ）得到好評(píng)．

【解析】

（Ⅰ）利用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)和眾數(shù)的方法可直接求得結(jié)果；

（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算可知理科數(shù)學(xué)成績(jī)位于內(nèi)的概率為，則，由此計(jì)算出的每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此得到分布列；由二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式計(jì)算可得；

（Ⅲ）計(jì)算每個(gè)區(qū)間取值所對(duì)應(yīng)的概率與原則所對(duì)應(yīng)的概率之間的大小關(guān)系，從而得到結(jié)論.

（Ⅰ）；

眾數(shù)：；

（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，可得從該市所有高三考生的理科數(shù)學(xué)成績(jī)中隨機(jī)抽取個(gè)，理科數(shù)學(xué)成績(jī)位于內(nèi)的概率為，則隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，故．

由題意知：所有可能的取值為，

；；；；

的分布列為：

數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）記該市高三考生的理科數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>，由（Ⅰ）可知，，又，

則，，，

，，，

，

，

，

符合②③，不符合①，這套試卷得到好評(píng)．