Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=1，AC=．
（1）求直線(xiàn)B₁C與平面ABB₁A₁所成角的大��；
（2）求二面角A-B₁C-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由直三棱柱性質(zhì)可得，∠CB₁A為直線(xiàn)B₁C與平面ABB₁A₁所成的角，解直角三角形可求此角的大小．
（2）過(guò)A做AM⊥BC，垂足為M，過(guò)M做MN⊥B₁C，垂足為N，由三垂線(xiàn)定理可證∠ANM為二面角A-B₁C-B的平面角，解直角三角形可求此角的大�。�
解答：解：（1）由直三棱柱性質(zhì)，B₁B⊥平面ABC，
∴B₁B⊥AC，
又BA⊥AC，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∴∠CB₁A為直線(xiàn)B₁C與平面ABB₁A₁所成的角．
由AB=BB₁=1，可得AB₁=．
又AC=，∴tanCB₁A==1．
∴直線(xiàn)B₁C與平面ABB₁A₁所成角的大小為45°．（7分）
（2）過(guò)A做AM⊥BC，垂足為M，
過(guò)M做MN⊥B₁C，垂足為N，連接AN，
由AM⊥BC，可得AM⊥平面BCC₁B₁，
由三垂線(xiàn)定理，可知AN⊥B₁C，
∴∠ANM為二面角A-B₁C-B的平面角，
又AM==，AN==1
∴
∴二面角A-B₁C-B的大小為arcsin=（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面角、二面角的求法．