Question

（2013•廣州三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長分別是a，b，c，已知A=

π

4

，cosB=

4

5

．
（1）求cosC的值；
（2）若BC=10，D為AB的中點(diǎn)，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）由cosB及B為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，再由A的度數(shù)，根據(jù)三角形得到內(nèi)角和定理得到C=

3π

4

-B，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡cos（

3π

4

-B），將sinB和cosB的值代入求出cos（

3π

4

-B）的值，即為cosC的值；
（2）由第一問求出的cosC的值，及C為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，由BC，sinA和sinC的值，利用正弦定理求出AB的長，在三角形BCD中，由D為AB的中點(diǎn)，求出BD的長，再由BC的長，以及cosB的值，利用余弦定理即可求出CD的長．

解答：解：（1）∵cosB=

4

5

，且B∈（0，π），
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
∴cosC=cos(π-A-B)=cos(

3π

4

-B)
=cos

3π

4

cosB+sin

3π

4

sinB=-

2

2

×

4

5

+

2

2

×

3

5

=-

2

10

；

（2）由（1）可得sinC=

1-cos2C

=

1-(- 2 10 )2

=

7

10

2

，
由正弦定理得

BC

sinA

=

AB

sinC

，又BC=10，sinA=

2

2

，sinC=

7

10

2

，
∴

10

2 2

=

AB

7 10 2

，
解得：AB=14，
在△BCD中，BD=

1

2

AB=7，BC=10，cosB=

4

5

，
由余弦定理得：CD2=72+102-2×7×10×

4

5

=37，
∴CD=

37

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦、余弦定理，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．