Question

（2013•廣州三模）如圖，長(zhǎng)為m+1（m＞0）的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，且

AM

=m

MB

．
（1）求點(diǎn)M的軌跡Γ的方程，并判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)Q（

1

2

，0）且斜率不為0的直線交軌跡Γ于C、D兩點(diǎn)．試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使PQ平分∠CPD？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A、B、M的坐標(biāo)分別為（x₀，0）、（0，y₀）、（x，y），根據(jù)

AM

=m

MB

建立關(guān)系式解出用m、x、y表示x₀和y₀的式子，將此代入x02+y02=（m+1）²，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)M滿(mǎn)足的方程為：x²+

y2

m2

=1（m＞0），最后根據(jù)m的取值范圍討論即可得出軌跡Γ所屬圓錐曲線的類(lèi)型；
（2）設(shè)CD的方程為x=ty+

1

2

，與軌跡Γ的方程消去x得（m²t²+1）y²+m²ty-

3

4

m²=0，設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系得y₁+y₂=-

m2t

m2t2+1

且y₁y₂=-

3m2

4(m2t2+1)

．設(shè)x軸上存在P（a，0），使PQ平分∠CPD，可得k_PC+k_PD=0，即

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0，結(jié)合直線CD方程與前面得到的等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，整理得-2m²t（2-a）=0，根據(jù)t的任意性可得a=2，故在x軸上存在定點(diǎn)P（2，0），使PQ平分∠CPD．

解答：解：（1）設(shè)A、B、M的坐標(biāo)分別為（x₀，0）、（0，y₀）、（x，y），則
x02+y02=（m+1）²，①
由

AM

=m

MB

，得（x-x₀，y）=m（-x，y₀-y），
∴

x-x0=-mx y=m(y0-y)

，解之得

x0=(m+1)x y0= m+1 m y

②
將②代入①，得
（m+1）²x²+（

m+1

m

）²y²=（m+1）²，
化簡(jiǎn)即得點(diǎn)M的軌跡Γ的方程為：x²+

y2

m2

=1（m＞0）．
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，軌跡Γ是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)m=1時(shí)，軌跡Γ是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓；
當(dāng)m＞1時(shí)，軌跡Γ是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．
（2）依題意，設(shè)直線CD的方程為x=ty+

1

2

，
由

x=ty+ 1 2 x2+ y2 m2 =1

消去x，并化簡(jiǎn)整理，得（m²t²+1）y²+m²ty-

3

4

m²=0，
△=m⁴t²+3m²（m²t²+1）＞0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則
y₁+y₂=-

m2t

m2t2+1

，y₁y₂=-

3m2

4(m2t2+1)

．         ③
假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)P（a，0），使PQ平分∠CPD，則直線PC、PD的傾斜角互補(bǔ)，
∴k_PC+k_PD=0，即

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0，
∵x₁=ty₁+

1

2

，x₂=ty₂+

1

2

，∴

y1

ty1+ 1 2 -a

+

y2

ty2+ 1 2 -a

=0，
化簡(jiǎn)，得4ty₁y₂+（1-2a）（ y₁+y₂）=0．           ④
將③代入④，得-

12tm2

4(m2t2+1)

-

m2t(1-2a)

m2t2+1

=0，整理得-2m²t（2-a）=0，…（*）
∵m＞0，∴t（2-a）=0，
∵對(duì)?t∈R，（*）式都成立，
∴可得a=2，故在x軸上存在定點(diǎn)P（2，0），使PQ平分∠CPD．

點(diǎn)評(píng)：本題給出長(zhǎng)度為定值的線段AB上一個(gè)滿(mǎn)足定比的分點(diǎn)M，當(dāng)A、B分別位于x、y軸時(shí)求M的軌跡方程，并討論了x軸上是否存在定點(diǎn)P（a，0）能使使PQ平分∠CPD的問(wèn)題，著重考查了運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．