Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1+a_n=3•2ⁿ，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n-2ⁿ}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）在數(shù)列{a_n}中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項，若不存在，請說明理由；
（3）已知1＜r＜s且r，s∈N^*，若a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列，請求出r，s滿足的關(guān)系式．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：分析：（1）利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明；
（2）可以先假設(shè)存在某連續(xù)三項，根據(jù)等差中項的定義式列出方程化簡，在正整數(shù)范圍內(nèi)有解則存在，否則不存在；
（3）根據(jù)等差中項的定義列出a₁，a_r，a_s的關(guān)系式，化簡即可得到r，s的關(guān)系式．

解答： 解：（1）由a₁=3，a_n+1+a_n=3•2ⁿ，n∈N^*．得：
an+1-2n+1=-(an-2n)，
所以數(shù)列{an-2n}是以a₁-2=1為首項，公比為-1的等比數(shù)列，
∴an-2n=（-1）^n-1，所以an=2n+(-1)n-1；
（2）假設(shè)存在連續(xù)三項a_n-1，a_n，a_n+1成等差數(shù)列，則由已知得：
2（2ⁿ+（-1）^n-1）=2^n-1+（-1）^n-2+2ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ，（n≥2）
化簡得2^n-1=2²×（-1）^n-1，顯然當(dāng)n=3上式成立，
所以存在數(shù)列{a_n}中的第二、三、四項構(gòu)成等差數(shù)列；
（3）由1＜r＜s且r，s∈N^*，結(jié)合通項可知a₁＜a_r＜a_s，
由a₁，a_r，a_s成等差數(shù)列，可得2a_r=a₁+a_s，
即2•2^r+2（-1）^r-1=3+2^s+（-1）^s-1，整理得2^r+1-2^s=3-2（-1）^r-1+（-1）^s-1，
因為1＜r＜s且r，s∈N^*，所以2^r+1-2^s的可能取值為0，8，…，而3-2（-1）^r-1+（-1）^s-1∈[0，6]，
∴2^r+1-2^s=0，
∴s=r+1（r≥2，r∈N）．

點評：本題突出考查了等差數(shù)列及等差中項的基本概念、通項和性質(zhì)，體現(xiàn)了化歸思想．其中第二問的類型一般先假設(shè)存在，然后根據(jù)題意列方程或不等式，只要有符合題意的解即說明存在，否則不存在．