Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n和S_n滿足4S_n=（a_n+1）²（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

1

anan+1

，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對(duì)任意n∈N^*，T_n＞

m

32

都成立，求整數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用遞推式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用“裂項(xiàng)求和”即可得出；
（III）利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）當(dāng)n=1時(shí)，4S₁=4a₁=(a1+1)2，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，4a_n=4（S_n-S_n-1）=(an+1)2-(an-1+1)2，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，∴a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．
（III）對(duì)任意n∈N^*，T_n＞

m

32

都成立，
∴m＜32×

1

2

(1-

1

2n+1

)，
∵數(shù)列{1-

1

2n+1

}是單調(diào)遞增數(shù)列，因此當(dāng)n=1時(shí)，取得最小值

32

3

．
∴m＜

32

3

．
∴整數(shù)m的最大值為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性，查看了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．