Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，A，B為拋物線上異于坐標原點O的不同兩點，拋物線C在A，B處的切線分別為l₁，l₂，且l₁⊥l₂，l₁與l₂相交于點D．
（Ⅰ）求點D的軌跡方程；
（Ⅱ）假設D點的坐標為（

3

2

，-1），問是否存在經(jīng)過A，B兩點且與l₁，l₂都相切的圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）設A(x1，

x 2 1

2p

)，B(x2，

x 2 2

2p

)．由拋物線C：x²=2py（p＞0），可得y′=

x

p

．可得拋物線C在A，B處的切線l₁，l₂的斜率．由于l₁⊥l₂，可得x₁x₂=-p²．可得拋物線C在A，B處的切線方程．化簡為：

x

2 1

-2xx1+2py=0，

x

2 2

-2xx2+2py=0．由于x₁≠x₂，可得x₁，x₂是一元二次方程t²-2xt+2py=0的兩個實數(shù)根．即可得出．
（II）D點的坐標為（

3

2

，-1），可得p=2，拋物線的方程為：x²=4y．
假設存在經(jīng)過A，B兩點且與l₁，l₂都相切的圓．由（I）可得x₁，x₂是一元二次方程t²-3t-4=0的兩個實數(shù)根．
可得A(-1，

1

4

)，B（4，4）．可得過點A與l₁垂直的直線方程，過點B與l₂垂直的直線方程，聯(lián)立即可得出圓心坐標，進而得出半徑．

解答： 解：（I）設A(x1，

x 2 1

2p

)，B(x2，

x 2 2

2p

)．
由拋物線C：x²=2py（p＞0），可得y′=

x

p

．
則拋物線C在A，B處的切線l₁，l₂的斜率分別為

x1

p

，

x2

p

．
∵l₁⊥l₂，∴

x1

p

×

x2

p

=-1，解得x₁x₂=-p²．
∴拋物線C在A，B處的切線分別為l₁：y-

x 2 1

2p

=

x1

p

(x-x1)，
l₂：y-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)，．
化簡為：

x

2 1

-2xx1+2py=0，

x

2 2

-2xx2+2py=0．
∵x₁≠x₂，∴x₁，x₂是一元二次方程t²-2xt+2py=0的兩個實數(shù)根．
∴x₁x₂=2py，
∴2py=-p²，解得y=-

p

2

．
∴點D的軌跡方程為：y=-

p

2

．
（2）∵D點的坐標為（

3

2

，-1），∴-

p

2

=-1，解得p=2．
∴拋物線的方程為：x²=4y．
假設存在經(jīng)過A，B兩點且與l₁，l₂都相切的圓．
則x₁，x₂是一元二次方程t²-3t-4=0的兩個實數(shù)根．
取x₁=-1，x₂=4，∴A(-1，

1

4

)，B（4，4）．
過點A與l₁垂直的直線方程為：y-

1

4

=2(x+1)，化為8x-4y+9=0．
過點B與l₂垂直的直線方程為：y-4=-

1

2

（x-4），化為x+2y-12=0．
聯(lián)立

8x-4y+9=0 x+2y-12=0

，解得

x= 3 2 y= 21 4

，
∴所求的圓的圓心為M(

3

2

，

21

4

)，半徑r²=|MA|²=(

3

2

+1)2+(

21

4

-

1

4

)2=

125

4

．
故所求的圓的方程為(x-

3

2

)2+(y-

21

4

)2=

125

4

．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相切問題、利用導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率、圓的方程等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．