Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′．
（1）△A′EF恰好是正三角形且Q是A′F的中點(diǎn)，求證：EQ⊥平面A′FD
（2）當(dāng)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)時，求二面角A′-EF-D的正弦值．

Answer 1

分析：（1）只需證明EQ⊥A′F，EQ⊥A′D，根據(jù)等腰三角形中線性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可證明；
（2）取EF中點(diǎn)O，連接A′O，OD，可證∠A′OD為二面角A′-EF-D平面角，利用余弦定理可求得cos∠A′OD，從而可求角∠A′OD；

解答：解：（1）∵DA′⊥A′E，DA′⊥A′F，A′E∩A′F=A′，
∴DA′⊥面A′EF，
∴DA′⊥EQ，
又△A′EF為正三角形，Q′為A′F的中點(diǎn)，
∴EQ⊥A′F，A′F∩DA′，
∴EQ⊥面DA′F；
（2）解：∵E、F為AB、BC的中點(diǎn)，
∴A′E=A′F=1，ED=FD=

AD2+AE2

=

5

，EF=

BE2+BF2

=

2

，
取EF中點(diǎn)O，連接A′O，OD，則A′O⊥EF，DO⊥EF，
∴∠A′OD為二面角A′-EF-D平面角，
OD=

ED2-OE2

=

5-( 2 2 )2

 =

3 2

2

，A′O=

A′E2-EO2

=

1-( 2 2 )2

=

2

2

，
在△A′OD中，cos∠A′OD=

A′O2+OD2-A′D2

2A′O•OD

=

1 2 + 9 2 -4

2× 2 2 × 3 2 2

=

1

3

，
∴∠A′OD=arccos

1

3

，
故二面角A′-EF-D大小為arccos

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，此題是中檔題．