Question

17．已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=2f（x），當x∈[0，1）時，f（x）=-x²+x．設(shè)f（x）在[n-1，n）上的最大值為a_n（n∈N^*），則a₃+a₄+a₅=（　�。�

• A． 7
• B． $\frac{7}{8}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 14

Answer 1

分析 f（x+1）=2f（x），就是函數(shù)f（x）向右平移1個單位，最大值變?yōu)樵瓉淼?倍，當x∈[0，1）時，f（x）=-x²+x=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$．可得a₁=f（$\frac{1}{2}$），q=2，可得a_n，即可得出．

解答 解：∵f（x+1）=2f（x），就是函數(shù)f（x）向右平移1個單位，最大值變?yōu)樵瓉淼?倍，
當x∈[0，1）時，f（x）=-x²+x=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$．
a₁=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，q=2，
∴a_n=$\frac{1}{4}×{2}^{n-1}$=2^n-3，
∴a₃+a₄+a₅=1+2+2²=7．
故選：A．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、等比數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．