Question

設(shè)函數(shù) 

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；

(2)令，（）其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率≤恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) 的極大值為，此即為最大值

(2) ≥

(3)

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)表示切線斜率，并能解決不等式的恒成立問(wèn)題。和方程解的函數(shù)與方程思想的綜合能力。

解: （1）依題意，知的定義域?yàn)椋?，+∞），

當(dāng)時(shí)，，

……………2分

令=0，解得．（∵）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061922414521958570/SYS201206192243451883715406_DA.files/image012.png">有唯一解，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。

所以的極大值為，此即為最大值 ……………4分

(2），，則有≤，在上恒成立，

所以≥，             

當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以≥………8分

(3)因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061922414521958570/SYS201206192243451883715406_DA.files/image025.png">有唯一實(shí)數(shù)解，

所以有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，

則．令，．  

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061922414521958570/SYS201206192243451883715406_DA.files/image031.png">，，所以（舍去），，

當(dāng)時(shí)，，在（0，）上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在（，+∞）單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，=0，取最小值．

則既……………10分

所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061922414521958570/SYS201206192243451883715406_DA.files/image031.png">，所以（*）

設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，

是增函數(shù)，所以至多有一解．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061922414521958570/SYS201206192243451883715406_DA.files/image050.png">，所以方程（*）的解為，即，解得