Question

已知二次函數(shù)g（x）=ax²-2ax+b+1（a＞0）在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）設(shè)f(x)=

g(x)

x

．若f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]時恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的最值建立方程組，即可求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）將f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]時恒成立進行轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，即可求求k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵g（x）=a（x-1）²-a+1+b
∴函數(shù)g（x）的圖象的對稱軸方程為x=1，
∵a＞0，
∴g（x）=a（x-1）²-a+1+b在區(qū)間[2，3]上遞增．
依題意得

g(2)=1 g(3)=4

即

a-a+1+b=1 4a-a+1+b=4

，解得

a=1 b=0

∴g（x）=x²-2x+1．
（2）∵f(x)=

g(x)

x

，
∴f(x)=

g(x)

x

=x+

1

x

-2．
∵f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]時恒成立，
即2x+

1

2x

-2-k•2x≥0在x∈[-1，1]時恒成立
∴k≤(

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1在x∈[-1，1]時恒成立
只需 k≤((

1

2x

)2-2(

1

2x

)+1)min
令t=

1

2x

，
由x∈[-1，1]得t∈[

1

2

，2]
設(shè)h（t）=t²-2t+1
∵h（t）=t²-2t+1=（t-1）²，
當(dāng)t=1時，取得最小值0．
∴k≤h（t）_min=h（1）=0．
∴k的取值范圍為（-∞，0）．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及不等式恒成立，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題問題的關(guān)鍵．