Question

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）．某公司每月生產(chǎn)x臺某種產(chǎn)品的收入為R（x）元，成本為C（X）元，且R（x）=3000x-20x²，C（x）=500x+4000（x∈N^*）．現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過100臺．
（I）求利潤函數(shù)P（x）I以及它的邊際利潤函數(shù)MP（x）；
（II）求利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差．

Answer 1

【答案】分析：（I）由“利潤等于收入與成本之差．”可求得利潤函數(shù)p（x），由“邊際函數(shù)為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得邊際函數(shù)；
（II）由二次函數(shù)法研究p（x）的最大值，由一次函數(shù)法研究Mp（x），對照結(jié)果即可．
解答：解：（I）根據(jù)題意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x²+2500x-4000，（x≤100）．
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2500（x+1-x）
=-40x+2480（x≤100）．
（II）∵p（x）=-20x²+2500x-4000
=-20（x-62.5）²+74125
∴當(dāng)x=62，63時，函數(shù)最大值為：74120
∵M(jìn)p（x）=-40x+2480
∴當(dāng)x=0時，函數(shù)最大值為：2480
所以利潤函數(shù)的最大值與邊際利潤函數(shù)的最大值之差為：74120-2480=71680元．
點評：本題主考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，涉及了函數(shù)的最值，同時，確定函數(shù)關(guān)系實質(zhì)就是將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言--數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)方法定量計算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．