Question

19、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置．生產(chǎn)x臺的收入函數(shù)為R（x）=3000x-20x²（單位元），其成本函數(shù)為C（x）=500x+4000（單位元），利潤等于收入與成本之差．
①求出利潤函數(shù)p（x）及其邊際利潤函數(shù)Mp（x）；
②求出的利潤函數(shù)p（x）及其邊際利潤函數(shù)Mp（x）是否具有相同的最大值；
③你認(rèn)為本題中邊際利潤函數(shù)Mp（x）最大值的實(shí)際意義．

Answer 1

分析：①由“利潤等于收入與成本之差．”可求得利潤函數(shù)p（x），由“邊際函數(shù)為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得邊際函數(shù)．
②由二次函數(shù)法研究p（x）的最大值，由一次函數(shù)法研究Mp（x），對照結(jié)果即可．
③Mp（x）最大值意義在于它顯示出了，利潤的最大增量．當(dāng)從生產(chǎn)0件產(chǎn)品到生產(chǎn)1件產(chǎn)品的過程中利潤增量由0變到2480，
Mp（x）是相對簡單函數(shù)，能夠很明了的標(biāo)示利潤與產(chǎn)量的關(guān)系．

解答：解：①根據(jù)題意：
p（x）=R（x）-C（x）=-20x²+2500x-4000
Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-20（x+1+x）（x+1-x）+2500（x+1-x）
=-40x+2480
②∵p（x）=-20x²+2500x-4000
=-20（x-62.5）²+74125
∴當(dāng)x=62，63時
函數(shù)最大值為：74120
∵M(jìn)p（x）=-40x+2480
∴當(dāng)x=0時
函數(shù)最大值為：2480
所以不一樣
③Mp（x）最大值意義在于它顯示出了，利潤的最大增量．當(dāng)從生產(chǎn)0件產(chǎn)品到生產(chǎn)1件產(chǎn)品的過程中利潤增量由0變到2480
令Mp（x）=0，得x=62，這時p（x）恰好有最大值，說明當(dāng)利潤增量為0的時候，總利潤恰好到達(dá)最大值，證明已經(jīng)無利可圖，就是總利潤不會再增加，如果繼續(xù)投入生產(chǎn)反而會犧牲部分利潤．Mp（x）是相對簡單函數(shù)，能夠很明了的標(biāo)示利潤與產(chǎn)量的關(guān)系． 而最大值則限制產(chǎn)量的范圍，及標(biāo)示利潤能夠達(dá)到的最大增量．

點(diǎn)評：本題主考查函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，涉及了函數(shù)的最值，同時，確定函數(shù)關(guān)系實(shí)質(zhì)就是將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言--數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)方法定量計(jì)算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量的實(shí)際意義符號化．