【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，其焦點與雙曲線的焦點重合，且橢圓的短軸的兩個端點與其一個焦點構成正三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過雙曲線的右頂點作直線與橢圓交于不同的兩點.

①設，當為定值時，求的值；

②設點是橢圓上的一點，滿足，記的面積為的面積為，求的取值范圍.

【答案】(1) ；(2) ①.；②. .

【解析】

試題分析：

(1)由題意結合幾何關系可求得.則橢圓的方程為.

(2)①.由題意可得雙曲線右頂點為.分類討論：

當直線的斜率存在時，聯(lián)立直線方程與橢圓方程有，則時為定值.當直線的斜率不存在時，也滿足，則當時為定值.

②.當直線斜率存在時，由題意結合平行關系可得.換元后利用二次函數(shù)的性質可得，當直線的斜率不存在時，，則的取值范圍是.

試題解析：

（1）由題意得橢圓的焦點在軸上，設方程為，

其左右焦點為，所以，

又因為橢圓的短軸的兩個端點與構成正三角形，所以

又因為，所以.

所以橢圓的方程為.

（2）①雙曲線右頂點為.

當直線的斜率存在時，設的方程為

由得

設直線與橢圓交點，

則，

則，

所以

當，即時為定值.

當直線的斜率不存在時，直線的方程為

由得，不妨設，由可得.

，所以.

綜上所述當時為定值.

②因為，所以，所以，

因為

原點到直線的距離為，

所以.

令，則，所以

因為，所以，所以，所以

當直線的斜率不存在時，

綜上所述的取值范圍是.

練習冊系列答案
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