Question

定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數f（x）滿足對任意的實數x，y都有f（x^y）=yf（x）
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f(

1

2

)＜0，求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（Ⅲ）若f(

1

2

)＜0，解不等式f（|3x-2|-2x）＜0．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數f（x）滿足對任意的實數x，y都有f（x^y）=yf（x），令令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），進而得到f（1）的值；
（Ⅱ）設0＜x₁＜x₂，根據函數f（x）滿足對任意的實數x，y都有f（x^y）=yf（x）及f(

1

2

)＜0，可以判斷出f（x₁）-f（x₂）＜0，進而根據增函數的定義得到f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（Ⅲ）由（I）（II）中的結論，可將不等式f（|3x-2|-2x）＜0化為0＜|3x-2|-2x＜1，解絕對值不等式即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）令x=1，y=2，可知f（1）=2f（1），故f（1）=0…（4分）
證明：（Ⅱ）設0＜x₁＜x₂，∴存在s，t使得x₁=（

1

2

）^s，x₂=（

1

2

）^t，且s＞t．又f（

1

2

）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f[（

1

2

）^s]-f[（

1

2

）^t]=sf（

1

2

）-tf（

1

2

）=（s-t）f（

1

2

）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是增函數．…（9分）
解：（Ⅲ）由（Ⅰ）得f（|3x-2|-2x）＜0   即：f（|3x-2|-2x）＜f（1）
由（Ⅱ）可知0＜|3x-2|-2x＜1
解得：

1

5

＜x＜

2

5

或2＜x＜3…（14分）

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數的單調性，函數單調性的應用，其中（I）的關鍵是根據已知湊配出f（1）的方程，（II）的關鍵是熟練掌握定義法判斷函數單調情的步驟，（III）的關鍵是根據（I）（II）的結論，將不等式f（|3x-2|-2x）＜0化為0＜|3x-2|-2x＜1．