Question

18．設(shè)數(shù)列{a_n}是前n項和S_n=$\frac{1}{2}$a_n-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁•a₂；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系即可求a₁•a₂；
（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{1}{2}$a_n-1，
∴當n=1時，a₁=$\frac{1}{2}$a₁-1，得a₁=-2，
當n=2時，S₂=$\frac{1}{2}$a₂-1，
即a₁+a₂=$\frac{1}{2}$a₂-1，
即$\frac{1}{2}$a₂=-1-a₁=-1-（-2）=1，
則a₂=2，
則a₁•a₂=-2×2=-4．
（Ⅱ）證明：當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1-（$\frac{1}{2}$a_n-1-1）=$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1，
即$\frac{1}{2}$a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1，
則a_n=-a_n-1，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=-1，
即數(shù)列{a_n}為公比q=-1的等比數(shù)列．

點評 本題主要考查等比數(shù)列的證明，利用數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．