【題目】如圖, 是邊長為3的正方形,平面,,,BE與平面所成角為.
(Ⅰ)求證:平面 ;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點M在線段BD上,且平面BEF,求的長.
【答案】(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面的法向量可得二面角的余弦值;
(Ⅲ)結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)果和空間向量的結(jié)論求得點M的坐標(biāo)即可求得的長.
(Ⅰ)因為平面,所以,
因為是正方形,所以,
又BD,DE交于點E,從而平面.
(Ⅱ)因為DA,DC,DE兩兩垂直,所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.
因為BE與平面所成角為,即
所以.由可知,
則,,,,,
所以,
設(shè)平面BEF的法向量為,則,
即,令,則
因為平面,所以為平面的法向量,,
所以.
因為二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.
(Ⅲ)點M是線段BD上一個動點,設(shè).則,
因為平面BEF,所以,
即,解得.
此時,點M坐標(biāo)為,,符合題意.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:x2+y2+2x﹣2y+1=0和拋物線E:y2=2px(p>0),圓C與拋物線E的準(zhǔn)線交于M、N兩點,△MNF的面積為p,其中F是E的焦點.
(1)求拋物線E的方程;
(2)不過原點O的動直線l交該拋物線于A,B兩點,且滿足OA⊥OB,設(shè)點Q為圓C上任意一動點,求當(dāng)動點Q到直線l的距離最大時直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同教學(xué)方式對入學(xué)數(shù)學(xué)平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班(人數(shù)均為 人)進行教學(xué)(兩班的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)勤奮程度和自覺性一致),數(shù)學(xué)期終考試成績莖葉圖如下:
(1)現(xiàn)從乙班數(shù)學(xué)成績不低于 分的同學(xué)中隨機抽取兩名同學(xué),求至少有一名成績?yōu)?/span> 分的同學(xué)被抽中的概率;
(2)學(xué)校規(guī)定:成績不低于 分的優(yōu)秀,請?zhí)顚懴旅娴?/span>聯(lián)表,并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.
附:參考公式及數(shù)據(jù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為調(diào)查高二學(xué)生上學(xué)路程所需要的時間(單位:分鐘),從高二年級學(xué)生中隨機抽取名按上學(xué)所需要時間分組:第組,第組,第組,第組,第組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
()根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的值.
()若從第, , 組中用分層抽樣的方法抽取名新生參與交通安全問卷調(diào)查,應(yīng)從第, , 組各抽取多少名新生?
()在()的條件下,該校決定從這名學(xué)生中隨機抽取名新生參加交通安全宣傳活動,求第組至少有一志愿者被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01,02,03,…,32,33這33個二位號碼中選取,小明利用如圖所示的隨機數(shù)表選取紅色球的6個號碼,選取方法是從第1行第9列和第10列的數(shù)字開始從左到右依次選取兩個數(shù)字,則第四個被選中的紅色球號碼為( )
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 |
06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 |
A. 12 B. 33 C. 06 D. 16
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐O﹣ABCD中,OA⊥底面ABCD,且底面ABCD是邊長為2的正方形,且OA=2,M,N分別為OA,BC的中點.
(1)求證:直線MN平面OCD;
(2)求點B到平面DMN的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為更好地落實農(nóng)民工工資保證金制度,南方某市勞動保障部門調(diào)查了年下半年該市名農(nóng)民工(其中技術(shù)工、非技術(shù)工各名)的月工資,得到這名農(nóng)民工月工資的中位數(shù)為百元(假設(shè)這名農(nóng)民工的月工資均在(百元)內(nèi))且月工資收入在(百元)內(nèi)的人數(shù)為,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫出如圖所示的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求,的值;
(Ⅱ)已知這名農(nóng)民工中月工資高于平均數(shù)的技術(shù)工有名,非技術(shù)工有名,則能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為是不是技術(shù)工與月工資是否高于平均數(shù)有關(guān)系?
參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓C:,直線:,:
(1)若,,被圓C所截得的弦的長度之比為,求實數(shù)k的值
(2)已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是,端點A在圓C上運動,求線段AB的中點M的軌跡方程
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