Question

某企業(yè)某年年初建廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其年產(chǎn)量為y件，每件產(chǎn)品的利潤為2200元，建廠年數(shù)為x，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x²+40x+50．由于設(shè)備老化，從2011年起，年產(chǎn)量開始下滑．若該企業(yè)2012年投入100萬元用于更換所有設(shè)備，則預(yù)計(jì)當(dāng)年可生產(chǎn)產(chǎn)品122件，且以后每年都比上一年增產(chǎn)14件．
（1）若更換設(shè)備后，至少幾年可收回投入成本？
（2）試寫出更換設(shè)備后，年產(chǎn)量Q件與企業(yè)建廠年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；并求出，到哪一年年產(chǎn)量可超過假定設(shè)備沒有更換的年產(chǎn)量？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）確定設(shè)備更新后第n年的利潤，組成等差數(shù)列，求出n年的總利潤，根據(jù)當(dāng)總利潤超過100萬元時(shí)可收回投入成本，建立不等式，即可求得結(jié)論；
（2）求出當(dāng)建廠10年時(shí)產(chǎn)量最大，年產(chǎn)量Q件與企業(yè)建廠年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為Q=122+14[（x-10）-1]=14x-32，（x＞10），根據(jù)當(dāng)Q≥250，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)至少n年可收回投入成本，則：
設(shè)備更新后第一年的產(chǎn)量=122，設(shè)備更新后第一年的利潤L₁=122×2200
設(shè)備更新后第二年的產(chǎn)量=122+14×1，設(shè)備更新后第二年的利潤L₂=（122+14×1）×2200
…
設(shè)備更新后第n年的產(chǎn)量Q=122+14（n-1），設(shè)備更新后第n年的利潤L_n=[122+14（n-1）]×2200
∴n年的總利潤L=L₁+L₂+L₃+…+L_n
=2200[122+（122+14）+（122+14×2）+…+122+14（n-1）]
=2200[122n+7n（n-1）]
=2200（7n²+115n）
∵當(dāng)總利潤超過100萬元時(shí)可收回投入成本
∴2200（7n²+115n）≥1000000
∴77n²+1265n-5000≥0
解得n≥3.29或n≤-19.38（舍去）
∵年數(shù)取整數(shù)，∴n=4
∴至少4年可收回投入成本；
（2）y=-2x²+40x+50=-2（x-10）²+250
∴當(dāng)建廠10年時(shí)產(chǎn)量最大，y_max=250
∴更換設(shè)備后，年產(chǎn)量Q件與企業(yè)建廠年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為Q=122+14[（x-10）-1]=14x-32，（x＞10）
當(dāng)Q≥250時(shí)有：14x-32≥250
解得x≥20.14≈20
∴約建廠20年的時(shí)候產(chǎn)量超過設(shè)備沒有更換的年產(chǎn)量．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的建立，考查等差數(shù)列的判定，考查解不等式，確定設(shè)備更新后第n年的利潤，組成等差數(shù)列是關(guān)鍵．