Question

已知函數(shù)f(x)=2x+

2

2x

-1，x∈[0，+∞）
（1）證明：函數(shù)在[0，

1

2

]上為單調(diào)減函數(shù)，在[

1

2

，+∞)上為單調(diào)增函數(shù)；
（2） 若x∈[0，a]，求f（x）的最大最小值．

Answer 1

（1）設(shè)x₁＞x₂≥0，則f(x1)-f(x2)=2x1+

2

2x1

-2x2-

2

2x2

=(2x1-2x2)

2x1+x2-2

2x1+x2

．
當(dāng)

1

2

≥x1＞x2≥0時，x1+x2＜1，2x1+x2＜2，
2x1-2x2＞0，2x1+x2＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以函數(shù)f（x）在[0，

1

2

]上為單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)x1＞x2≥

1

2

時，x1+x2＞1，2x1+x2＞2，
2x1-2x2＞0，2x1+x2＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），所以函數(shù)f（x）在[

1

2

，+∞)上為單調(diào)增函數(shù)．得證；
（2）①當(dāng)0＜a≤

1

2

時，由（1）知函數(shù)f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，
所以f（x）_max=f（0）=2，f（x）_min=f（a）=2^a+2^1-a-1；
②當(dāng)

1

2

＜a≤1時，由（1）知函數(shù)f（x）在[0，

1

2

]上單調(diào)遞減，
在[

1

2

，a]上單調(diào)遞增，且f（0）=f（1），
所以f(x)max=f(0)=2，f(x)min=f(

1

2

)=2

2

-1；
③當(dāng)a＞1時，由（1）知函數(shù)f（x）在[0，

1

2

]上單調(diào)遞減，
在[

1

2

，a]上單調(diào)遞增，且f（0）=f（1），
所以f(x)max=f(a)=2a+21-a-1，f(x)min=f(

1

2

)=2

2

-1．