已知函數(shù)f(x)對一切x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求證：f(x)是奇函數(shù)；(2)若x∈R＋時，總有f(x)＜0，且f(1)＝－，試求f(x)在區(qū)間［－2，6］上的最值

答案：
解析：

(1)略

(2)首先討論f(x)在(0，＋∞)上的增減性．在(0,＋∞)上任取0＜x1＜x2，則有f(x2)＝f［x1＋(x2－x1)］＝f(x1)＋f(x2－x1)．

∵x2＞x1，∴x2－x1＞0,

又∵x∈R＋時，有f(x)＜0．

∴f(x2－x1)＜0,

∴f(x2)＜f(x1)．

即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．

又∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)．

∴f(x)在(－∞,0)上也單調(diào)遞減，且f(x)在x＝0處有定義．

∴f(x)在R上單調(diào)遞減．

∴f(x)在［－2，6］上時，有x＝－2處取得最大值，在x＝6處，取得最小值．

∵f(1)＝－∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1．

f(6)＝2f(3)＝2［f(1)＋f(2)］＝－3．

∴f(x)在［－2，6］上的最大值為1,最小值為－3．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•成都一模）已知函數(shù)f(x)=
3
inωxcosωx+1-sin2ωx的周期為2π，其中ω＞0．
（I）求ω的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）在△ABC中，設內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b，c若a=
3
，c=2，f（A）=
3
2
，求b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•德州一模）已知函數(shù)f(x)=
3
sinxcosx-cos2x+
1
2
(x∈R)
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，
π
2
]上的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，又f(
A
2
+
π
3
)=
4
5
，b=2，△ABC的面積等于3，求邊長a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•濰坊一模）已知函數(shù)f(x)=
3
sin
ωx+φ
2
cos
ωx+φ
2
+sin2
ωx+φ
2
(ω＞0，0＜φ＜
π
2
)．其圖象的兩個相鄰對稱中心的距離為
π
2
，且過點(
π
3
，1)．
（I）函數(shù)f（x）的達式；
（Ⅱ）在△ABC中．a(chǎn)、b、c分別是角A、B、C的對邊，a=
5
，S△ABC=2
5
，角C為銳角．且滿f(
C
2
-
π
12
)=
7
6
，求c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•黑龍江一模）已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•臺州一模）已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+
π
3
)-
3
sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在面積為
3
的△ABC中，若角A為銳角，f（A）=0，求A所對的邊的取值范圍．

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