Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n+1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，a₁=b₁=2，a₂=b₂
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的 通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）若對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，在b_k和b_k+1之間插入a_k個(gè)2，得到一個(gè)新數(shù)列{c_n}．設(shè)T_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，試求滿足T_m=2c_m+1的所有正整數(shù)m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由式子求出a₂，由題意求出公比，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出b_n，利用遞推公式和累積法求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=2ⁿ，a_k=2k，由已知寫出c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…，討論m=1、2，m≥3，求出T_m、2c_m+1，列出方程并整理，討論方程的解，從而得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知，a₁=2，a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n+1（n∈N^*），
所以a₁=

1

2

a₂，解得a₂=4，
因?yàn)閿?shù)列{b_n}為等比數(shù)列，a₁=b₁=2，a₂=b₂，
所以數(shù)列{b_n}的公比是2，即b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
由a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n+1（n∈N^*）得，
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁+a₂+…+a_n-1=

n-1

2

a_n（n∈N^*），
兩個(gè)式子相減得，a_n=

n

2

a_n+1-

n-1

2

a_n，即

an+1

an

=

n+1

n

，
當(dāng)n=1時(shí)，

a2

a1

=

4

2

=2符合上式，
當(dāng)n≥2時(shí)，

a2

a1

=

2

1

，

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，
以上n-1個(gè)式子相乘得，

an

a1

=

n

1

，所以a_n=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b_n=2ⁿ，a_k=2k，
由題意知，c₁=a₁=2，c₂=c₃=2，c₄=a₂=4，c₅=c₆=c₇=c₈=2，c₉=a₃=8，…，
則當(dāng)m=1時(shí)，T₁≠2c₂，不合題意，當(dāng)m=2時(shí)，T₂=2c₃，適合題意．
當(dāng)m≥3時(shí)，若c_m+1=2，則T_m≠2c_m+1一定不適合題意，
從而c_m+1必是數(shù)列{b_n}中的某一項(xiàng)b_k+1，
則T_m=b₁+2+2+b₂+2+2+2+2+b₃+2+…+2+b₄+2+…+b₅+2+…+b₆+…+b_k-1+2+…+b_k，
=（2+2²+2³+…+2^k）+2（2+4+…+2k）
=2×（2^k-1）+k（2+2k）=2^k+1+2k²+2k-2，
又2c_m+1=2b_k+1=2×2^k+1，
∴2^k+1+2k²+2k-2=2×2^k+1，即2^k-k²-k+1=0，∴2^k+1=k²+k，
∵2^k+1為奇數(shù)，k²+k=k（k+1）為偶數(shù)，∴上式無解．
即當(dāng)m≥3時(shí)，T_m≠2c_m+1，
綜上知，滿足題意的正整數(shù)只有m=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，累積法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的求和方法：分組求和，同時(shí)考查邏輯推理能力，屬于綜合題．