【題目】如圖，四棱臺中，底面是菱形，底面，且60°，，是棱的中點.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成線面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由底面，得，再由底面是菱形，得，利用直線與平面垂直的判定可得平面，進一步得到；

（2）設(shè)交于點，依題意，且，得到底面．以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系．求出平面的一個法向量與的坐標，再由兩向量所成角的余弦值求解直線與平面所成線面角的正弦值．

（1）因為底面，所以

因為底面是菱形，所以

又，所以平面

又由四棱臺知，，，，四點共面

所以

（2）如圖，設(shè)交于點，依題意，且，

，且，

又由已知底面，得底面．

以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖

設(shè)交于點，依題意，且，所以

則，，，，

由，得

因為是棱中點，所以

所以，，

設(shè)為平面的法向量

則，取，得

設(shè)直線與平面所成線面角為，則

所以直線與平面所成線面角的正弦值

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在處的切線方程，并證明：.

（2）當時，方程有兩個不同的實數(shù)根，證明：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面為直角梯形，分別為的中點.

（1）求證：平面；

（2）若截面與底面所成銳二面角為，求的長度.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對n個不同的實數(shù)a1，a2，…，an可得n！個不同的排列，每個排列為一行寫成一個n！行的數(shù)陣.對第i行ai1，ai2，…，ain，記bi=－ai1+2ai2－3ai3+…+(－1)nnain，i=1，2，3…，n！.例如用1，2，3可得數(shù)陣如圖，對于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12，所以bl+b2+…b6=－12+2×12－3×12=－24.那么，在用1，2，3，4，5形成的數(shù)陣中，b1+b2+…b120等于（ ）

A.－3600B.－1800C.－1080D.－720

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠為提高生產(chǎn)效率，需引進一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線可供選擇，生產(chǎn)線①：有A，B兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.01，0.05.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為16萬元；若A工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加2萬元；若B工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加3萬元；若A，B兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線②：有a，b兩道獨立運行的生產(chǎn)工序，且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04，0.02.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本為15萬元；若a工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加8萬元；若b工序出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加5萬元；若a，b兩道工序都出現(xiàn)故障，則生產(chǎn)成本增加13萬元.

（1）若選擇生產(chǎn)線②，求生產(chǎn)成本恰好為20萬元的概率；

（2）為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本，你會給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢嚴峻，避免外出是減少相互交叉感染最有效的方式．在家中適當鍛煉，合理休息，能夠提高自身免疫力，抵抗該種病毒．某小區(qū)為了調(diào)查“宅”家居民的運動情況，從該小區(qū)隨機抽取了100位成年人，記錄了他們某天的鍛煉時間，其頻率分布直方圖如下：

（1）求a的值，并估計這100位居民鍛煉時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）小張是該小區(qū)的一位居民，他記錄了自己“宅”家7天的鍛煉時長：

序號n

1

2

3

4

5

6

7

鍛煉時長m（單位：分鐘）

10

15

12

20

30

25

35

（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)求m關(guān)于n的線性回歸方程；

（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），則當天被稱為“有效運動日”．估計小張“宅”家第8天是否是“有效運動日”？

附；在線性回歸方程中，，．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于、兩點，以線段為直徑的圓交軸于、兩點，設(shè)線段的中點為，則（ ）

A.

B.若，則直線的斜率為

C.若拋物線上存在一點到焦點的距離等于，則拋物線的方程為

D.若點到拋物線準線的距離為，則的最小值為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于無窮數(shù)列的某一項，若存在，有成立，則稱具有性質(zhì).

（1）設(shè)，若對任意的，都具有性質(zhì)，求的最小值；

（2）設(shè)等差數(shù)列的首項，公差為，前項和為，若對任意的數(shù)列中的項都具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)數(shù)列的首項，當時，存在滿足，且此數(shù)列中恰有一項不具有性質(zhì)，求此數(shù)列的前項和的最大值和最小值以及取得最值時對應(yīng)的的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若對任意，任意，不等式恒成立時最大的記為，當時，的取值范圍.

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