Question

【題目】已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為、，短軸的兩個端點(diǎn)分別為、，且為等邊三角形．

（1）若橢圓長軸的長為4，求橢圓的方程；

（2）如果在橢圓上存在不同的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)、滿足，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)為等邊三角形，可得，結(jié)合橢圓長軸的長為4，即，得，從而求得橢圓的方程；

（2）根據(jù)等邊三角形，得出a,b,c之間的關(guān)系，從而設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)橢圓中中點(diǎn)弦所在直線的斜率所滿足的條件，結(jié)合對稱的條件，求得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，保證點(diǎn)在橢圓內(nèi)，得到相應(yīng)的不等關(guān)系，得到結(jié)果；

（3）利用向量的關(guān)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合隱含條件，得到相應(yīng)的范圍，求得結(jié)果

（1）由題意，得，，∴橢圓的方程為；

（2）“點(diǎn)差法”設(shè)橢圓的方程為，即，

設(shè)、、中點(diǎn)，

則，

得，又，解得，

顯然在橢圓內(nèi)，∴，得，又，∴；

（3）設(shè)橢圓方程，即，

方法一：（常規(guī)解法）

①過、的直線斜率不存在，即直線方程為時，、，

由，得，

②過、的直線斜率存在，設(shè)直線方程為、、，

由，得，

，

則，由，可得，

∴，

綜上，點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是．

方法二：設(shè)，則，

，

又，∴，

∴，

∴，即點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是．