【題目】中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F2，且|F1F2|＝，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3∶7.

（1）求這兩曲線的方程；

（2）若P為這兩曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值.

【答案】（1）和；（2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓長、短半軸長分別為，雙曲線半實、虛軸長分別為，列出，解出參數(shù)的值，即可得出橢圓與雙曲線的方程；（2）不妨設(shè)分別為左、右焦點， 是第一象限的一個交點，則， ，再利用余弦定理得出，求值即可.

試題解析：（1）由題意知，半焦距，設(shè)橢圓長半軸為，則雙曲線實半軸，離心率之比為，∴，∴橢圓的短半軸等于，雙曲線虛半軸的長為，∴橢圓和雙曲線的方程分別為： 和.
（2）由橢圓的定義得： ，由雙曲線的定義得： ，∴與中，一個是10，另一個是 4，不妨令， ，又，三角形中，利用余弦定理得： ，∴

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（1）求曲線 E 的方程；

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(Ⅱ)求證：當時,在(1)的條件下, 成立．

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（2）根據(jù)以往經(jīng)驗，甲船將于早上到達，乙船將于早上到達，請應(yīng)用隨機模擬的方法求甲船先停靠的概率，隨機數(shù)模擬實驗數(shù)據(jù)參考如下：記， 都是之間的均勻隨機數(shù)，用計算機做了100次試驗，得到的結(jié)果有12次滿足，有6次滿足．

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