Question

如圖△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，AE=AB=2a，CD=a，F(xiàn)為BE中點(diǎn)．
（1）求證：DF∥面ABC．
（2）求證：AF⊥BD．
（3）求以A，B，D，E為頂點(diǎn)的四面體體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線(xiàn)與平面平行的判定,直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證DF∥平面ABC，只要證DF平行于平面ABC內(nèi)的一條直線(xiàn)，取AB中點(diǎn)N，連結(jié)FN，NC，可證四邊形DCNF為平行四邊形，則答案得證；
（2）要證明AF⊥BD，可證明BF為BD在平面ABE上的射影，即證DF⊥面ABE，也就是證CN⊥面ABE，由線(xiàn)面垂直的判定得答案；
（3）利用V_A-BDE=

1

3

S△BDE•AF，可求以A，B，D，E為頂點(diǎn)的四面體體積．

解答： （1）證明：如圖，
取AB中點(diǎn)N，連結(jié)FN，NC，
∵F為BE的中點(diǎn)，∴FN為△ABE的中位線(xiàn)，∴FN∥AE，F(xiàn)N=

1

2

AE，
又AE、CD都垂直于面ABC，2CD=AE，∴AE∥CD，∴CD∥FN且CD=FN，
∴四邊形CDFN為平行四邊形，∴DF∥CN，
又DF?面ABC，CN?面ABC，∴DF∥面ABC；
（2）證明：∵AE=AB，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，在△ABC中，N是AB的中點(diǎn)，
∴AF⊥BE，CN⊥AB，
∵AE⊥面ABC，AE?面ABE，
∴面ABE⊥面ABC，
又CN⊥AB，∴CN⊥面ABE，
∴DF⊥面ABE，∴DB在平面ABE的射影為BF，
∴AF⊥BD；
（3）解：∵AE=AB=2a，CD=a，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，
∴V_A-BDE=

1

3

S△BDE•AF=

1

3

•

1

2

•BE•DF•AF=

2 3

3

a3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與平面平行的判定，考查了直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，考查錐體體積的計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，是中檔題．