已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2線與圓x2+y2=b2相切于點(diǎn)A，并與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)P，Q，如圖，PF1⊥PQ，若A為線段PQ的靠近P的三等分點(diǎn)，則橢圓的離心率為（　�。�
分析：連接OA，PF1，則OA⊥PQ，PF1⊥PQ，因?yàn)锳為線段PQ的靠近P的三等分點(diǎn)，所以A為線段PA的中點(diǎn)，于是PF1=2b．結(jié)合橢圓的定義有PF2=2a-2b，由此能求出橢圓的離心率．
解答：解：連接OA，PF1，
則OA⊥PQ，又PF1⊥PQ，可得OA∥PF1
因?yàn)锳為線段PQ的靠近P的三等分點(diǎn)，所以A為線段PF2的中點(diǎn)，
于是PF1=2b．
結(jié)合橢圓的定義有PF2=2a-2b，
在直角三角形PF1F2中，
利用勾股定理得（2a-2b）2+（2b）2=（2c）2，
將c2=a2-b2代入，
整理可得b=
2
3
a，
于是e=
c
a
=
a2-b2
a
=
a2-
4
9
a2
a
=
5
3
．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：離心率問(wèn)題是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，各省考查頻率相當(dāng)高，往往融橢圓、雙曲線的定義與平面幾何的性質(zhì)與一體，能夠較好的考查學(xué)生的思維層次，備受命題專家的青睞．此題結(jié)合圓、橢圓、切線等知識(shí)，含金量高．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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