Question

2．已知點O（0，0），A（3，1），點P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}\right.$，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，利用數(shù)量積的坐標表示求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$，得到線性目標函數(shù)，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{3x-y-3≤0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=（3，1）•（x，y）=3x+y$，
設(shè)z=3x+y，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得：B（2，3），
又C（2，3），
化目標函數(shù)z=3x+y為y=-3x+z，
由圖可知，當直線y=-3x+z過C時，z_min=2；
當直線y=-3x+z過B時，z_max=9．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了平面向量的數(shù)量積運算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．