Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-3x，且在x=1時函數(shù)f（x）取得極值．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）=x²-2x-1（x＞0），
①證明：當(dāng)x＞1時，g（x）的圖象恒在f（x）的上方；
②證明不等式（2n+1）²＞4ln（n!）恒成立．（注：（n!=1×2×3×…×n））

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后根據(jù)在x=1時函數(shù)f（x）取得極值求出a的值，最后根據(jù)f′（x）＜0可求出函數(shù)的減區(qū)間，f′（x）＞0可求出函數(shù)的增區(qū)間；
（II）①設(shè)F（x）=f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)F（x）的最大值，從而可判定F（x）的符號，即可證得g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方；
②由①可知，lnx-x+1≤0，可得lnx＜x恒成立，從而有l(wèi)n1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，lnn＜n，累加可得ln（1×2×3×…×n）=lnn!＜，然后利用放縮法可證得結(jié)論．
解答：解：（I）由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
f′（x）=+2ax-3=，
∵x=1處函數(shù)f（x）取得極值
∴f′（1）=0，即2a-3+1=0，解得a=1
即f′（x）=
當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（，1）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），（1，+∞），函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（，1）
（II）①設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，F(xiàn)′（x）=-1=
∵當(dāng)x∈（0，1）時，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0
∴F（x）≤F（1）=0即f（x）＜g（x）恒成立，從而g（x）的圖象恒在f（x）圖象的上方
②由①可知，lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1∴l(xiāng)nx＜x恒成立
從而有l(wèi)n1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，lnn＜n，
累加得ln1+ln2+ln3+…+lnn＜1+2+3+…+n
即ln（1×2×3×…×n）=lnn!＜
∵
∴即（2n+1）²＞4ln（n!）
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題以及不等式的證明，同時考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．