Question

已知向量

m

=（2sinθ，sinθ+cosθ），

n

=（cosθ，-2-m），函數(shù)f（θ）=

m

•

n

（1）當(dāng)m=1時(shí)，求f（

π

4

）的值；
（2）若θ∈[-

π

4

，

π

4

]，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m的值使得f（θ）的最小值為-

3

4

，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，代入m=1，由特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)即可得到；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m的值使得f（θ）的最小值為-

3

4

，令t=sinθ+cosθ，由θ∈[-

π

4

，

π

4

]，求得t的范圍，兩邊平方可得2sinθcosθ=t²-1，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求法，通過(guò)對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可求得最小值，進(jìn)而判斷是否存在．

解答： 解：（1）向量

m

=（2sinθ，sinθ+cosθ），

n

=（cosθ，-2-m），
則函數(shù)f（θ）=

m

•

n

=2sinθcosθ-（2+m）（sinθ+cosθ），
當(dāng)m=1時(shí)，f（θ）=2sinθcosθ-3（sinθ+cosθ）；
則f（

π

4

）=2sin

π

4

cos

π

4

-3（sin

π

4

+cos

π

4

）=1-3

2

；
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m的值使得f（θ）的最小值為-

3

4

，
f（θ）=2sinθcosθ-（2+m）（sinθ+cosθ），
令t=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

），
由θ∈[-

π

4

，

π

4

]，則θ+

π

4

∈[0，

π

2

]，即有t∈[0，2]，
由t²=1+2sinθcosθ，得2sinθcosθ=t²-1，
則f（θ）=t²-1-（2+m）t=（t-

2+m

2

）²-1-

(m+2)2

4

，
由于最小值點(diǎn)可能在端點(diǎn)處和頂點(diǎn)處，
且-1-

(m+2)2

4

＜-1，則最小值不可能在頂點(diǎn)處，
若區(qū)間[0，2]為增區(qū)間即

m+2

2

≤0，則t=0取得最小值-1，不成立；
若區(qū)間[0，2]為減區(qū)間即

m+2

2

≥2，則t=2取得最小值3-2（2+m）=-

3

4

，
解得m=-

1

8

，不成立．
綜上可得，不存在實(shí)數(shù)m的值使得f（θ）的最小值為-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，主要考查三角函數(shù)的恒等變換和求值，考查運(yùn)算能力，注意二次函數(shù)的最值求法是解題關(guān)鍵．