【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD=CD=2AB=2,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,E為PC的中點,且DE=EC.
(1)求證:PA⊥面ABCD;
(2)設(shè)PA=a,若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈( , ),求a的取值范圍.
【答案】
(1)證明:∵E為PC的中點,DE=EC=PE
∴PD⊥DC,
∵CD⊥AD,PD∩AD=D,
∴CD⊥平面PAD,
∵PA平面PAD,
∴CD⊥PA,
∵PA⊥AD,AD∩CD=D,
∴PA⊥面ABCD;
(2)解:以AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間坐標(biāo)系,
B(1,0,0),D(0,2,0)P(0,0,a),C(2,2,0),
平面BCD法向量 =(0,0,1),平面EBD法向量
,可得
【解析】(1)證明CD⊥平面PAD,可得CD⊥PA,利用PA⊥AD,AD∩CD=D,可以證明PA⊥面ABCD;(2)以AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量的夾角公式,結(jié)合平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈( , ),即可求a的取值范圍.
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的判定,需要了解一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】交強險是車主必須為機(jī)動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準(zhǔn)保費)統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機(jī)制,保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費率也就越高,具體浮動情況如表:
交強險浮動因素和浮動費率比率表 | ||
浮動因素 | 浮動比率 | |
上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:
按照我國《機(jī)動車交通事故責(zé)任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定, .某同學(xué)家里有一輛該品牌車且車齡剛滿三年,記為該品牌車在第四年續(xù)保時的費用,求的分布列與數(shù)學(xué)期望值;(數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字)
某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設(shè)購進(jìn)一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進(jìn)100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤的期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某老師對全班名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和參加社團(tuán)活動情況進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下所示:
參加社團(tuán)活動 | 不參加社團(tuán)活動 | 合計 | |
學(xué)習(xí)積極性高 | |||
學(xué)習(xí)積極性一般 | |||
合計 |
(1)請把表格數(shù)據(jù)補充完整;
(2)若從不參加社團(tuán)活動的人按照分層抽樣的方法選取人,再從所選出的人中隨機(jī)選取兩人作為代表發(fā)言,求至少有一個學(xué)習(xí)積極性高的概率;
(3)運用獨立性檢驗的思想方法分析:請你判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參與社團(tuán)活動由關(guān)系?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知左、右焦點分別為的橢圓與直線相交于兩點,使得四邊形為面積等于的矩形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過橢圓上一動點(不在軸上)作圓的兩條切線,切點分別為,直線與橢圓交于兩點, 為坐標(biāo)原點,求的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,橢圓: ()的離心率是,拋物線: 的焦點是的一個頂點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是上動點,且位于第一象限, 在點處的切線與交于不同的兩點, ,線段的中點為,直線與過且垂直于軸的直線交于點.
(i)求證:點在定直線上;
(ii)直線與軸交于點,記的面積為, 的面積為,求的最大值及取得最大值時點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是( )
① =
② =
③ 2=| |2
④( ) = ( )
⑤| |≤ .
A.0
B.1
C.2
D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 與 .
(Ⅰ)若 在 方向上的投影為 ,求λ的值;
(Ⅱ)命題P:向量 與 的夾角為銳角;
命題q: ,其中向量 , =( )(λ,α∈R).若“p或q”為真命題,“p且q”為假命題,求λ的取值范圍.
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