Question

設0≤a≤π，不等式8x²-（8sina）x+cos2a≥0對于x屬于一切實數(shù)恒成立，則a的取值范圍是

[0，

π

6

]∪[

5π

6

，π]

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可將不等式恒成立等價于△≤0，列出關(guān)于a的不等式，利用三角函數(shù)的二倍角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，求解不等式即可得到a的取值范圍．

解答：解：∵不等式8x²-（8sina）x+cos2a≥0對于x屬于一切實數(shù)恒成立，
∴△=（-8sina）²-4×8×cos2a≤0，
∴64sin²a-32cos2a≤0，即2sin²a-cos2a≤0，
∴1-2cos2a≤0，即cos2a≥

1

2

，
∴-

π

3

+2kπ≤2a≤

π

3

+2kπ，
∴-

π

6

+kπ≤a≤

π

6

+kπ，
又∵0≤a≤π，
∴0≤a≤

π

6

或

5π

6

≤a≤π，
∴a的取值范圍是[0，

π

6

]∪[[

5π

6

，π]．
故答案為：[0，

π

6

]∪[[

5π

6

，π]．

點評：本題考查了不等式恒成立問題，對于不等式恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解．對于二次函數(shù)問題特別要注意對開口方向和對稱軸以及判別式的研究．本題解題過程中考查了三角函數(shù)的求解．屬于中檔題．