Question

已知函數(shù)
（1）求f（x）在[，2]上的最大值和最小值；（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7）
（2）求證：ln；
（3）求證：對大于1的任意正整數(shù)n，都有 lnn+++…+．

Answer 1

（1）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得
∴x∈[，1]時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（1，2]時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增
∴f（x）在[，2]上有唯一極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)，最小值為f（1）=0
∵，
∴=＞0
∴
∴f（x）在[，2]上的最大值為1-ln2；
（2）證明：當(dāng)a=1時，f（x）=+lnx，f′（x）=，
故f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
當(dāng)n＞1時，令x=，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（）=+ln=-+ln＞0，即ln＞；
（3）證明：由（2）知，ln＞，ln＞，…，ln＞
∴l(xiāng)n+ln+…+ln＞++…+
∴l(xiāng)nn＞++…+
即對大于1的任意正整數(shù)n，都有l(wèi)nn＞++…+．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，比較端點(diǎn)的函數(shù)值，即可求得結(jié)論；
（2）先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，令x=代入函數(shù)f（x）根據(jù)單調(diào)性，即可得到不等式ln＞，
（3）由（2）令n=1，2，…代入可證．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．