如圖,已知△ABD是等腰直角三角形,∠D=90°,BD=.現(xiàn)將△ABD沿斜邊的中線DC折起,使二面角A-DC-B為直二面角,E是線段AD的中點,F(xiàn)是線段AC上的一個動點(不包括A).
(1)確定F的位置,使得平面ABD⊥平面BEF;
(2)當直線BD與直線EF所成的角為60°時,求證:平面ABD⊥平面BEF.

【答案】分析:(1)以C為原點,分別以CB、CD、CA為x,y,z的正半軸建立空間直角坐標系,根據(jù)=0,可知AD⊥BE,根據(jù)面ABD與面BEF垂直的性質(zhì)定理可知AD⊥面BEF,則AD⊥EF,即,即可得到F點與C點重合時滿足條件;
(2)根據(jù)=求出z,由F是線段AC上(不包括A、C)的點得z=0,從而F點與C點重合,則AD⊥EF,從而得到結(jié)論.
解答:證明:(1)由已知二面角A-DC-B為直二面角,又AC⊥CD,
∴AC⊥面BCD
在Rt△ACD中,CD=1,∠ADC=45°,
∴AC=1.
以C為原點,分別以CB、CD、CA為x,y,z的正半軸建立空間直角坐標系,
則B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,1).
∵E為AD中點,
∴E(0,,),
,
∴AD⊥BE.
若面ABD⊥面BEF,則AD⊥面BEF,則AD⊥EF,即,
設F(0,0,z),則(0,1,-1)•(0,-,z-)=0,
∴(-)•1+(-1)•(z-)=0⇒z=0,
∴F點坐標為(0,0,0),即F點與C點重合時,平面ABD⊥平面BEF.
(2)由(1)知
=解得z=0或z=1,由F是線段AC上(不包括A、C)的點得z=0
∴F點坐標為(0,0,0),即F點與C點重合,
∴AD⊥EF,
又BC⊥AD
∴平面ABD⊥平面BEF
點評:本題主要考查了平面與平面垂直的判定,平面與平面垂直的性質(zhì),考查空間想象能力和思維能力,應用向量知識解決立體幾何問題的能力.
練習冊系列答案
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.現(xiàn)將△ABD沿斜邊的中線DC折起,使二面角A-DC-B為直二面角,E是線段AD的中點,F(xiàn)是線段AC上的一個動點(不包括A).
(1)確定F的位置,使得平面ABD⊥平面BEF;
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