Question

【題目】對(duì)同學(xué)們而言，冬日的早晨離開暖融融的被窩，總是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)，而咬牙起床的唯一動(dòng)力，就是上學(xué)能夠不遲到．己知學(xué)校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校記為遲到．小明每天6:15會(huì)被媽媽叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨間活動(dòng)需要半個(gè)小時(shí)，故每天6:45小明就可以出門去上學(xué)．從家到學(xué)校的路上，若小明選擇步行到校，則路上所花費(fèi)的時(shí)間相對(duì)準(zhǔn)確，若以隨機(jī)變量（分鐘）表示步行到校的時(shí)間，可以認(rèn)為．若小明選擇騎共享單車上學(xué)，雖然騎行速度快于步行，不過由于車況、路況等不確定因素，路上所需時(shí)間的隨機(jī)性增加，若以隨機(jī)變量（分鐘）描述騎車到校的時(shí)間，可以認(rèn)為．若小明選擇坐公交車上學(xué)，速度很快，但是由于等車時(shí)間、路況等不確定因素，路上所需時(shí)間的隨機(jī)性進(jìn)一步增加，若以隨機(jī)變量（分鐘）描述坐公交車到校所需的時(shí)間，則可以認(rèn)為．

（1）若某天小明媽媽出差沒在家，小明一覺醒來已經(jīng)是6:40了，他抓緊時(shí)間洗漱更衣，沒吃早飯就出發(fā)了，出門時(shí)候是6:50．請(qǐng)問，小明是否有某種出行方案，能夠保證上學(xué)不遲到？小明此時(shí)的最優(yōu)選擇是什么？

（2）已知共享單車每20分鐘收費(fèi)一元，若小明本周五天都騎共享單車上學(xué)，以隨機(jī)變量表示這五天小明上學(xué)騎車的費(fèi)用，求的期望與方差（此小題結(jié)果均保留三位有效數(shù)字）

已知若隨機(jī)變量，則％，％，％．

Answer 1

【答案】（1），三種方案都無法滿足原則，不能保證上學(xué)不遲到．相對(duì)而言，騎車到校不遲到的概率最高，是最優(yōu)選擇（2）（元），（元2）

【解析】

（1）依題意，小明需要在25分鐘內(nèi)到達(dá)學(xué)校．若他選擇步行到校，則不遲到的概率記為，求出％．若騎車到校，則不遲到概率記為，

（％，％），若坐公交車到校，則不遲到的概率記為，

％．比較即可做出選擇；（2）取隨機(jī)變量表示五天里騎車上學(xué)時(shí)間單程超過20分鐘的天數(shù)．先求出和，再求的期望與方差.

（1）依題意，小明需要在25分鐘內(nèi)到達(dá)學(xué)校．

若他選擇步行到校，則不遲到的概率記為，取，，

則，，

％．

若騎車到校，則不遲到的概率記為，取，，

則，，，

則％，

％，

∴（％，％）

若坐公交車到校，則不遲到的概率記為，取，，

則，，％．

綜上，三種方案都無法滿足原則，不能保證上學(xué)不遲到．相對(duì)而言，騎車到校不遲到的概率最高，是最優(yōu)選擇．

（2）取隨機(jī)變量表示五天里騎車上學(xué)時(shí)間單程超過20分鐘的天數(shù)．

依題意，每天騎車上學(xué)時(shí)間超過20分鐘的概率為％，

∴，∴％，

％．

又∵，

∴（元），（元2）