Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AB邊上，點(diǎn)F在AC邊上，且

AE

=2

EB

，

AF

=

1

3

FC

，BF與CE交于點(diǎn)M，設(shè)

AM

=x

AE

+y

AF

，則x+y的值為

13

10

．

Answer 1

分析：由B、M、F三點(diǎn)共線，可得

AM

=s

AB

+（1-s）

AF

=s

AB

+

1-s

4

AC

．由E、M、C 三點(diǎn)共線，得

AM

=t

AE

+（1-t）

AC

=

2

3

t

AB

+(1-t)

AC

．解方程組求出 t=

9

10

，得到
 

AM

=

3

5

AB

+

1

10

AC

．再由

AM

=x

AE

+y

AF

=

2

3

x•

AB

+

1

4

y•

AC

，求出xy的值，即可求得 x+y的值．

解答：解：∵

AE

=2

EB

，

AF

=

1

3

FC

，∴

AE

=

2

3

AB

，

AF

=

1

4

AC

．
由題意知：B、M、F三點(diǎn)共線，∴

AM

=s

AB

+（1-s）

AF

=s

AB

+

1-s

4

AC

．
由E、M、C 三點(diǎn)共線，∴

AM

=t

AE

+（1-t）

AC

=

2

3

t 

AB

+(1-t)

AC

．
∴

2

3

t=s，1-t=

1-s

4

，解得 t=

9

10

．
故

AM

=

3

5

AB

+

1

10

AC

．
再由

AM

=x

AE

+y

AF

=

2

3

x•

AB

+

1

4

y•

AC

，
∴

2

3

x=

3

5

，

1

4

y=

1

10

，
∴x=

9

10

，y=

4

10

，
故 x+y=

13

10

．
故答案為

13

10

．

點(diǎn)評：本題主要考查平面向量基本定理及其幾何意義，用一組向量來表示一個(gè)向量，是解題過程中常見到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，屬于中檔題．