Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，），且長軸長等于4．
（I）求橢圓C的方程；
（II）F₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，⊙O是以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若•=-，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意長軸長為4求得a的值，在有橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（1，）建立方程求解即可；
（II）由于圓O是以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓，直線l：y=kx+m與⊙O相切，利用直線與圓相切的從要條件得到一個(gè)等式，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用整體代換的思想，根據(jù)•=-建立k的方程求k．
解答：解：（I）有題義長軸長為4，即2a=4，解得：a=2，
∵點(diǎn)在橢圓上，∴ 解得：b²=3
橢圓的方程為：；
（II）由直線l與圓O相切，得：
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）    由，
整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴，，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²==∴=
∵m²=1+k²∴，
解得：，
∴．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了橢圓的基本性質(zhì)及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了直線方程與橢圓方程聯(lián)立之后的整體代換設(shè)而不求，還有求解問題時(shí)方程的思想．