Question

已知向量

a

=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，

b

=(con

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[

π

2

，π]，求：
（1）

a

-

b

及

a

+

b

；  
（2）若f（x）=

a

.

b

-2λ|

a

+

b

|的最小值是-

3

2

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）直接運(yùn)用向量的坐標(biāo)加減法計(jì)算；
（2）先求出兩向量的數(shù)量積，再求出兩和向量的模，得出含有實(shí)數(shù)λ的表達(dá)式后分類討論函數(shù)取得最大值的情況，最后求得使函數(shù)取得最小值時(shí)λ的值．

解答：解：（1）

a

-

b

=(cos

3

2

x，sin

3x

2

)-(cos

x

2

，-sin

x

2

)
=(cos

3x

2

-cos

x

2

，sin

3x

2

+sin

x

2

)

a

+

b

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)+(cos

x

2

，-sin

x

2

)
=(cos

3x

2

+cos

x

2

，sin

3x

2

-sin

x

2

)
（2）

a

•

b

=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)•(cos

x

2

，-sin

x

2

)
=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x
|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos2x

=2

cos2x

∵x∈[

π

2

，π]，∴|

a

+

b

|=2

cos2x

=-2cosx
∴f(x)=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|
=cos2x-2λ×（-2cosx）=（4λ+1）cosx
∵x∈[

π

2

，π]，∴cosx∈[-1，0]，
當(dāng)4λ+1=0時(shí)，f（x）=0，函數(shù)無(wú)最小值
當(dāng)當(dāng)4λ+1＞0，即λ＞-

1

4

時(shí)，f(x)min=-4λ-1=-

3

2

，∴λ=

1

8

當(dāng)4λ+1＜0，即λ＜-

1

4

時(shí)，f（x）_min=0，不合題意．
所以所求的λ的值是

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示即向量模的運(yùn)算，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，解答此題的關(guān)鍵是分清在λ的不同范圍下函數(shù)f（x）的最小值情況．