Question

已知?jiǎng)訄AP與定圓B：x²+y²+2x-35=0內(nèi)切，且動(dòng)圓經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)A（1，0）．
（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)B（圓心）的直線與點(diǎn)P的軌跡交與M，N兩點(diǎn)，求△AMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）定圓B的圓心為B（-1，0），半徑r=6，因?yàn)閯?dòng)圓P與定圓B內(nèi)切，且動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)A（1，0），所以|PA|+|PB|=6．由此能求出橢圓的方程．
（2）由題意設(shè)直線l的方程為my=x+1，與點(diǎn)P的軌跡方程

x2

9

+

y2

8

=1聯(lián)立，得（8m²+9）y²-16my-64=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y1+y2=

16m

8m2+9

，y1y2=-

64

8m2+9

，S△AMN=

1

2

×2c×|y1-y2|=

48 m2+1

8m2+9

，由此能求出△AMN面積的最大值．

解答：解：（1）定圓B的圓心為B（-1，0），半徑r=6，
因?yàn)閯?dòng)圓P與定圓B內(nèi)切，且動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)A（1，0）
所以|PA|+|PB|=6．
所以動(dòng)圓圓心P的軌跡是以B、A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓．
∴所求橢圓的方程為

x2

9

+

y2

8

=1．（5分）
（2）由題意設(shè)直線l的方程為my=x+1，
與點(diǎn)P的軌跡方程

x2

9

+

y2

8

=1聯(lián)立，得（8m²+9）y²-16my-64=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則y1+y2=

16m

8m2+9

，y1y2=-

64

8m2+9

，
∴S△AMN=

1

2

×2c×|y1-y2|=

48 m2+1

8m2+9

，
令

m2+1

=t＞1，則m²=t²-1，
∴S△AMN=

48t

8t2+1

=

48

8t+ 1 t

，
∵8t+

1

t

在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴8t+

1

t

≥9(當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取”=”)，
∴△AMN面積的最大值為

48

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和三角形面積最大值的計(jì)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．