Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=exsinx，其中x∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng) 時，f（x）≥kx，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） f′（x）=exsinx+excosx=ex（sinx+cosx）， 令 ，
當(dāng) 單調(diào)遞增，
單調(diào)遞減
（Ⅱ） 令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣k，
令h（x）=ex（sinx+cosx）h′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=2excosx，
∵ 在 上單調(diào)遞增， ，
當(dāng)k≤1時，g′（x）≥0，g（x）在 上單調(diào)遞增，g（x）≥g（0）=0，符合題意；
當(dāng) 時，g′（x）≤0g（x）在 上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0）=0，與題意不合；
當(dāng) 時，g′（x）為一個單調(diào)遞增的函數(shù)，而 ，
由零點存在性定理，必存在一個零點x0 ， 使得g′（x0）=0，
當(dāng)x∈[0，x0）時，g′（x）≤0，從而g（x）在x∈[0，x0）上單調(diào)遞減，
從而g（x）≤g（0）=0，與題意不合，
綜上所述：k的取值范圍為（﹣∞，1]
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣kx=exsinx﹣kx，即g（x）≥0恒成立，通過討論k的范圍確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出k的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．