Question

已知函數(shù)f(x)=;
(1)求y=f(x)在點(diǎn)P（0,1）處的切線方程；
（2）設(shè)g(x)=f(x)+x－1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值；
（3）試探究函數(shù)f(x)是否存在單調(diào)遞減區(qū)間？若有，設(shè)其單調(diào)區(qū)間為[t,s],試求s－t的取值范圍？若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）∵點(diǎn)P在函數(shù)y=f(x)上，由f(x)=得： 故切線方程為：y=－x+1
(2)由g(x)=f(x)+x－1＝可知：定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823211353106526.png" style="vertical-align:middle;" />，且g（0）=0,顯然x=0為y=g(x)的一個(gè)零點(diǎn)；
則
①當(dāng)m=1時(shí)，，即函數(shù)y=g(x)在上單調(diào)遞增，g(0)=0,故僅有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意。
②當(dāng)m>1時(shí)，則，列表分析：

x				0
	+	0	－	0	＋
g(x)	[	極大值		極小值 0

又∵x→－1時(shí)，g(x)→－，∴g(x)在上有一根，這與y=g(x)僅有一根矛盾，
故此種情況不符題意。
（3）假設(shè)y=f（x）存在單調(diào)區(qū)間，由f(x)=得：，
令∵，h(－1)＝m+2－m－1＝1＞0，∴h(x)=0在上一定存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根s,t,………12分
即, 的解集為（t,s）,即函數(shù)f(x)存在單調(diào)區(qū)間[t,s],則s－t=,由m≥1可得：s－t

略