Question

在數(shù)學(xué)中“所有”一詞，叫做全稱量詞，用符號(hào)“?”表示；“存在”一詞，叫做存在量詞，用符號(hào)“?”表示．設(shè)f(x)=

x2-3x+3

x-2

(x＞2)，g（x）=a^x（a＞1，x＞2）．
①若?x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______；
②若?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______．

Answer 1

①由f(x)=

x2-3x+3

x-2

=

(x-2)2+(x-2)+1

x-2

=(x-2)+

1

x-2

+1，
因?yàn)閤＞2，所以由基本不等式得f(x)=(x-2)+

1

x-2

+1≥2

(x-2)? 1 x-2

+1=3，
所以函數(shù)f（x）的值域是[3，+∞），所以要使?x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，則m≥3，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3，+∞）．
②因?yàn)閍＞1，x＞2，所以g（x）≥a²，由①知f（x）的值域是[3，+∞），
所以要使?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
則有a²≤3，解得1＜a≤

3

，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，

3

]．
故答案為：①[3，+∞），②（1，

3

]．