Question

（2011•黃州區(qū)模擬）在數(shù)學中“所有”一詞，叫做全稱量詞，用符號“?”表示；“存在”一詞，叫做存在量詞，用符號“?”表示．設f(x)=

x2-3x+3

x-2

(x＞2)，g（x）=a^x（a＞1，x＞2）．
①若?x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，則實數(shù)m的取值范圍為

[3，+∞）

；
②若?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），則實數(shù)a的取值范圍為

(1，

3

)

．

Answer 1

分析：①利用條件求出函數(shù)f（x）的值域即可．
②要使對?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），等價于x∈（2，+∞）時f（x）的值域為g（x）值域的子集，

解答：解：①由f(x)=

x2-3x+3

x-2

=

(x-2)2+(x-2)+1

x-2

=(x-2)+

1

x-2

+1，
因為x＞2，所以由基本不等式得f(x)=(x-2)+

1

x-2

+1≥2

(x-2)? 1 x-2

+1=3，
所以函數(shù)f（x）的值域是[3，+∞），所以要使?x₀∈（2，+∞），使f（x₀）=m成立，則m≥3，
即實數(shù)m的取值范圍為[3，+∞）．
②因為a＞1，x＞2，所以g（x）≥a²，由①知f（x）的值域是[3，+∞），
所以要使?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），
則有a²≤3，解得1＜a≤

3

，即實數(shù)a的取值范圍為（1，

3

]．
故答案為：①[3，+∞），②（1，

3

]．

點評：本題考查利用基本不等式求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、函數(shù)單調性的應用，考查恒成立問題，本題中對恒成立問題的等價轉化是解決問題的關鍵．