Question

【題目】函數(shù) ，其中 ．

（1）試討論函數(shù) 的單調(diào)性；

（2）已知當 （其中 是自然對數(shù)的底數(shù)）時，在 上至少存在一點 ，使 成立，求 的取值范圍；

（3）求證：當 時，對任意 ，，有 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】分析：（1）求導數(shù)后根據(jù)的取值范圍判斷出導函數(shù)在上的符號可得函數(shù)的單調(diào)性．（2）將問題轉(zhuǎn)化為“當時，”處理，由（1）可得，由，即為所求的范圍．（3）當時，．令，可得在上為減函數(shù)．故對任意，都有成立，由此可得成立．

詳解：（1）易知的定義域為．

由題意得．

令 得 或 ．

∵ ，

∴ ．

①當時，

則當單調(diào)遞增，

當單調(diào)遞減，

當單調(diào)遞增．

②當時，

則當單調(diào)遞增；

當單調(diào)遞減；

當單調(diào)遞增．

③當時，則當單調(diào)遞增．

綜上，當時，在和上單調(diào)遞減；

當時，在和上單調(diào)遞減；

當時，在上單調(diào)遞增．

（2）在上至少存在一點，使成立，

等價于當時，．

∵ ，

∴ ．

由（1）知，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．

∴ 當時，．

由 ．

經(jīng)檢驗知上式滿足．

∴所以 的取值范圍是．

（3）當時，函數(shù)．

令，

則．

∴當時，，為減函數(shù)．

∴ 對任意，都有成立，

即．

即．

又，

∴ ．