【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-1.

(1)當(dāng)a>0時(shí),設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求證:g(a)≤0;

(2)求證:對(duì)任意的正整數(shù)n,都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1<(n+1)n+1.

【答案】(1)見解析(2)見解析.

【解析】試題分析:(1)在a>0的情況下討論函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的小值g(a)=a-alna-1,再對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo),研究這個(gè)函數(shù)的最大值g(1)=0,故g(a)≤0。(2)結(jié)合第一問得到x>0時(shí),總有ex>x+1,兩邊變形得到(x+1)n+1<(ex)n+1=e(n+1)x.再利用賦值法得到結(jié)果即可。

解析:

(1)由a>0及f′(x)=ex-a可得,函數(shù)f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,

在(lna,+∞)上單調(diào)遞增,

故函數(shù)f(x)的最小值為g(a)=f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1,則g′(a)=-lna,

故當(dāng)a∈(0,1)時(shí),g′(a)>0;

當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí),g′(a)<0,

從而可知g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,

在(1,+∞)上單調(diào)遞減,且g(1)=0,故g(a)≤0.

(2)由(1)可知,當(dāng)a=1時(shí),總有f(x)=ex-x-1≥0,

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,即當(dāng)x>0時(shí),總有ex>x+1.

于是,可得(x+1)n+1<(ex)n+1=e(n+1)x.

令x+1=,即x=-,可得n+1<e-n;

令x+1=,即x=-,可得n+1<e-(n-1);

令x+1=,即x=-,可得n+1<e-(n-2)

令x+1=,即x=-,可得n+1<e-1.

對(duì)以上各式求和可得:

n+1n+1n+1+…+n+1<e-n+e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-1

<<1.

故對(duì)任意的正整數(shù)n,都有1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1<(n+1)n+1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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