已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an=
1
2
(3n+Sn) 對一切正整數(shù)n成立
(Ⅰ)求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=
n
3
an
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Bn
分析:(Ⅰ)由已知得Sn=2an-3n,Sn+1=2an+1-3(n+1),所以an+1=2an+3,3+an+1=2(3+an),由此能求出an
(Ⅱ)bn=n(2n-1)=n2n-n,設(shè)Tn=1×2+2×22+3×23++n×2n(1),2Tn=1×22+2×23++(n-1)2n+n×2n+1,Tn=-(2+22+23+…+2n)+n2n+1=-
2-2n+1
1-2
+n2n+1=2+(n-1)2n+1
,由此能求出數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Bn
解答:解:(Ⅰ)由已知得Sn=2an-3n,
Sn+1=2an+1-3(n+1),兩式相減并整理得:an+1=2an+3(2分)
所以3+an+1=2(3+an),又a1=S1=2a1-3,a1=3可知3+a1=6≠0,
進(jìn)而可知an+3≠0
所以
3+an+1
3+an
=2
,
故數(shù)列{3+an}是首相為6,公比為2的等比數(shù)列,
所以3+an=6•2n-1,即an=3(2n-1)(6分)
(Ⅱ)bn=n(2n-1)=n2n-n
設(shè)Tn=1×2+2×22+3×23++n×2n(1),
2Tn=1×22+2×23++(n-1)2n+n×2n+1(2)
由(2)-(1)得Tn=-(2+22+23+…+2n)+n2n+1=-
2-2n+1
1-2
+n2n+1=2+(n-1)2n+1
,
Bn=Tn-(1+2+3++n)=2+(n-1)2n+1-
n(n+1)
2
(12分)
點(diǎn)評:第(Ⅰ)題考查求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法,解題時(shí)要注意迭代法的運(yùn)用;第(Ⅱ)題考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法,解題時(shí)要注意錯位相減法的運(yùn)用.
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